Analiza matematyczna jest jednym z głównych działów matematyki, opartym przede wszystkim na pojęciach funkcji i granicy. Obejmuje m.in. rachunek różniczkowy i całkowy, analizę funkcjonalną, funkcje analityczne, równania różniczkowe i całkowe, oraz geometrię różniczkową.

Na tej stronie znajdują się podstawy tego obszernego działu. Tu dowiesz się, jak obliczyć granicę funkcji w punkcie i w nieskończoności. Poznasz pochodną i odkryjesz w jaki sposób używać jej do wyznaczania stycznej wykresu funkcji, ekstremów, oraz największej i najmniejszej wartości funkcji.
Jesteś gotowy? Pora wyruszyć w fascynującą podróż do świata matematyki!

Limes to greckie słowo oznaczające granicę.
Stąd przyjęło się, że granicę zapisujemy jako "lim".

Na przykład funkcja

Przyjrzyjmy się tej funkcji w punkcie x=0

Funkcja z obydwu stron dąży do tej samej wartości.
Dlatego ma granicę w punkcie x=0

Definicja

Pochodną funkcji f_(x) w punkcie x₀ oznaczamy symbolem:

f'_(x0)

i definiujemy jako granicę:

Lub:

Obie definicje znaczą to samo. Różnią się tylko zapisem.

Ułamek z którego liczymy granicę:

nazywany jest ułamkiem różnicowym, dlatego wyprowadzanie funkcji pochodnej określa się czasem jako "różniczkowanie".

Wyznaczmy styczną do wykresu funkcji przechodzącą przez punkt P(x₀, f_(x0)).
Równanie prostej w postaci kierunkowej to:
y=ax+b
Gdzie a=f'_(x0)
oraz b=f_(x0)-f'_(x0)*x₀
Podstawiając do wzoru na styczną otrzymujemy:
y=f'_(x0)(x-x₀)+f_(x0)

Wyliczmy teraz styczną do wykresu f_(x)=x²-5 dla x=2
x₀=2, f_(x0)=-1, f'_(x)=2x, f'_(x0)=4
y=f'_(x0)(x-x₀)+f_(x0)
y=4x-8-1=4x-9
y=4x-9

Ekstremum wyliczamy w 4 krokach.
Oto one:

1) Wyznaczamy dziedzinę funkcji f, pochodną oraz dziedzinę pochodnej

2) Wyznaczamy punkty krytyczne

3) Badamy, kiedy funkcja pochodna jest dodatnia, a kiedy ujemna

4) Jeśli w punktach krytycznych pochodna zmienia znak(+/-), określamy rodzaj ekstremum(minimum, lub maksimum)

Wyznaczmy ekstrema na przykładzie funkcji f_(x)=x³-2,5x²-2x+2

1)
,
,
,

2)

3)

4)
Funkcja pochodna zmienia znak dla argumentów x=-1/3, oraz x=2.
Mamy więc pewność, że są tam ekstrema funkcji.
Teraz pozostaje już tylko wyliczyć ich wartość.

Kolorem czerwonym f_(x)
Kolorem czarnym f'_(x)

Aby wyznaczyć najmniejszą i największa wartość funkcji ciągłej w przedziale domkniętym należy:
1) wyznaczyć punkty krytyczne w tym przedziale
2) obliczyć wartość funkcji w punktach krytycznych i na końcach przedziału
3) wybrać najmniejszą i największą wartość spośród wyliczonych

Wyznaczmy najmniejszą i największa wartość na przykładzie funkcji

Punkty krytyczne tej funkcji zanjdują się w -1, oraz 2.
Obliczmy więc wartości tej funkcji dla krańców przedziału, oraz dla punktów krytycznych.

W przedziale <-3, 3> funkcja f przyjmuje wartość największą, równą 10, dla argumentu -1. Natomiast najmniejsza wartość funkcji wynosi -42 i jest przyjmowana dla argumentu -3.

Zdobyte informacje pozwolą nam teraz przeprowadzić badanie przebiegu zmienności funkcji. Jego celem jest naszkicowanie wykresu danej funkcji.

Oto, jak zbadać przebieg zmienności:

1) Wyznaczamy dziedzinę funkcji

2) Sprawdzamy, czy funkcji ma istotne własności(okresowość, parzystość, nieparzystość)

3) Wyznaczamy punkty wspólne funkcji z osiami układu

4) Obliczamy granicę na końcach dziedziny. Wyznaczamy asymptoty

5) Analizujemy pochodną funkcji

6) Rysujemy tabelkę przebiegu zmienności

7) Szkicujemy wykres funkcji

Przeprowadzimy przebieg zmienności na przykładzie funkcji:

1)

2)
Funkcja f nie jest okresowa, nie jest parzysta ani nieparzysta.

3)

x=0 ۷ x=1
Punkty wspólne z osią X: (0,0), (1,0)
Z osią Y: (0,0)

4)

Wykres funkcji nie ma asymptoto pionowych, ani poziomych.

Brak także asymptot ukośnych.

5)
W celu wyznaczenia pochodnej rozpiszmy wzór funkcji:
, stąd:

6)

7)
Teraz pozostaje już tylko naszkicować wykres!